border=0

Lineêre romte

                Lit it fjild sette en lineêre romte oer dit fjild. Lit - alle reversibel lineêre operators, dan - groep relatyf oan fermindering fan operator. Lit is in willekeurige groep, dan is de fertsjintwurdiging yn it is in homomorphisme .
As en dan . Troch it eigendom fan homomorphisme hawwe wy en . sadat wy aksje krije op lykas op it set.

Foarbylden:
1) Besykje in groep - symmetry groep fan in tetraedron - sa hawwe wy in homomorphisme . Ie Wy hawwe in idee fan 'e groep . Dit is in foarbyld fan in trije-dimensionale fertsjintwurdiging fan 'e groep. .
2) Untfraaie in kubus en in groep rotaasjes (relatyf oan guon asilen), dy't it yn him oersette. Nim de diagonaal fan 'e kub (in totaal fan 4). Elke rotaasje ferfollet de diagonaal, d. is in subsydzje fan . Wy moatte bepale dat elke subsydzje út is ynfierd, litte wy it litte as in oefening. Noch it is nedich om de ienichheid te bewizen As de diagonaal op it plak bliuwe (dus de permutaasje is inkeld), dan sille alle eftergrûnen op it plak bliuwe (dus de transformaasje is unyk), dit sil ek as ütfiering bliuwe. Sa hawwe wy in oare groeppresintaasje krigen. . Dit is in foarbyld fan in oare trije-dimensionale werjefte.
3) Wy witte dat isomorphisme - gean nei de hoeke en - symmetry oer de as . Krij de groep werjefte as in symmetry groep fan in reguliere trijehoek (dizze represintaasje is twa-dimensional).
4) Litte wy werom gean nei de groep. , wy konstruearje in twa-dimensionale fertsjintwurdiging fan dizze groep. Consider polynomials:

As dan - Ferfoarming fan fariabelen yn oerienstimming mei de subsydzje . Mar lykas wy de fariabelen op 'e nij sette, krije wy noch ien fan dizze polynomen. Ie ferfoarming Untfongen ús trije polynomen. Wy krije in homomorphisme (en har kearn is ), is der ek in homomorphisme . Fan komposysje is in homomorphisme - twa-dimensionale fertsjintwurdiging fan 'e groep .
5) Besykje in groep Wy bepale de un-dimensionale representaasje fan dizze groep. Nim in polynomiale ring . Dan troch homomorphisme sil de presintaasje fan 'e (ûneinige-dimensionale) groep wêze .
6) Beoardielje in groep en ring polynomialen . Lit dan homomorphisme troch regel sil in groeppresintaasje wêze .

Lit en . Yntsjinners en wurde lykweardich neamd as soksoarte in bidirekte lineêre mappeling bestiet dat en wy hawwe .
Yn 'e taal fan matrizen (yn' t gefal fan Dit betsjut de folgjende:
Lit - basis yn , - matrix yn basis , - matrix yn basis , - matrix yn basis . Dan sil de kondysje fan lykweardigens fan represintaasjes yn 'e foarm skreaun wurde: i.e. . Ie en - dit binne matrizen fan deselde operator yn basen en . Dit, benammen, betsjut dat .

Besykje de groep wer en syn twa dimensjeel represintaasjes:
en .
Oefening. As (fjildkennigens), dan binne dizze represintaasjes lykweardich. En as dan net lykweardich.

Yn 'e takomst sille wy sizze dat it fjild is - Dit is in fjild fan echte of komplekse getallen.

Theorem. Alle finiten-dimensjeare (komplekse) represintaasje fan in finite groep is lykweardich oan orthogonale (ienheid).
Bewearing.
                Nim in willekeurige basis en set it skalearprodukt op: if en dan . Wy prate in oare skalare produkt . Litte wy beprate dat dit echt in skalare produkt is: . As dan dêrom . Ie it is echt in skalare produkt.
Lit dan . Dêrom bewarret alle operator de skalare produkt en is orthogonaal (ienheid).

It ûndersyk. As subspace invariant yn tsjinstelling ta alle operators wêr dan dêr't subspace is ek invariant foar alle operators .

Definition Lit en , dan presintaasje sa as dat wurdt de direkt sum fan fertsjinsten neamd en . In yntree en neamd subviews yn .

Fanút in lineêre algebra-kursus witte wy dat as - invariant subspace , dan is de matrix fan ien dy't de operateur hat it formulier . En as dan .

Definition Submission ûnredsibel as yn Der binne gjin non-trivial (non-nul en de romte sels) invariant subspaces. In fertsjintwurdiging is folslein reduktabel as it in direkte sum fan inkeldredige is.

Maschke's teorema. Elke finiten-dimensjeare (komplekse) fertsjintwurdiging fan in finite groep is folslein ferminderich.
Bewearing.
                Lit , is in invariant subspace fan minimale nonzero dimensje, dan , ek invariant mei respekt foar , dan sil ús fertsjintwurdiging yn in direkte sum fan 'e ûnferbidlike ( ) en subrepresentaasjes fan lytsere dimensje. Dan kinne wy ​​de ynduksje tapasse oer de dimensje fan 'e represintaasje.

In foarbyld fan in yredearbere fertsjintwurdiging:
. Lit ús bepale dat dizze represintaasje irreduzibel is, as echt. Tink derom dat it jûn wurdt, d. Der is in invariant subspace, d. troch it Mashke-teorem, it is in direkte somme fan ien dimensjeel represintaasjes, d. Der is in basis dêr't de matrix yn in diagonaal foarm skreaun is om't dan sille sokke matrizen dan sizze mar dat is net wier. Wy krije in tsjinstelling mei de hypoteek fan it bestean fan in invariant subspace, dêrtroch is it net bestean en de fertsjintwurdiging is ûnferbidlik.

Oefening. Bewearje dat de twa-dimensionale fertsjintwurdigers fan 'e groep by ús yn it begjin fan' e lêzing beskôge wurde binne net lykweardich en beide binne ûnredsibel.

Theorem. Elke ûnbedoelde finiten-diminsjoneel kompleks fertsjintwurdiging fan in abelike groep is ien-dimensional.
Bewearing.
                Lit de presintaasje krije . Lit dan hat syn eigen betsjutting en eigen fektor . Dan is it subspace fan eigenvectors nonzero. Boppedat bewege wy dat it invariant is foar alle operators :
Nim en lit dan dêrom - wernei de eigenvector en de subspace is invariant.
Ie om't De represintaasje is ûnredsibel en ferskillend fan nul. Ie . Nim wolwillich en is in invariant subspace, dus - ien-dimensional.

Theorem. It tal nûmere-ûnjildbere komplekse represintaasjes fan in finite abelike groep lykas har bestelling.
Bewearing.
                Nim in willekeurige abelike groep dan . As giet yn dan giet yn i.e. moat ruten gean Grad út ien. Foar elk Der binne safolle mooglikheden, wat is syn oarder, kombinearret út alles, dan krije we dat der safolle mooglikheden binne, wat is de oarder fan 'e groep.

Foarbylden:
                1) , yn totaal binne der 4 ûnredredige komplekse represintaasjes, wy skriuwe se yn 'e tafel:

(hjir yn 'e tafel is it wurdich wat it item út' e kolom giet nei wannear't út 'e rige presintearre wurdt).
2) - wer dan wer 4 kear besjoen:

3) Yn totaal sille der 2 punten wêze:

Ierdimmale representaasje is in homomorphisme. . Wy beskriuwe alle soksoarte homomorphisme. Want dan - abelian groep. Dêrom moat de kearn fan dit homomorphisme de kommutant fan 'e groep befetsje, d. . Mei in homomorphisme wy kinne in homomorphisme beskôgje hannelje neffens de regel: . En werom, as in homomorphisme jûn wurdt wy kinne in homomorphisme beskôgje dat is in gearstalling fan it natuerlike homomorphisme en homomorphisme . Sa kinne wy ​​homomorphisme identifisearje en homomorphisme .
Foarbylden:
                1) , , - in groep fan oarder 2, . Se hat twa views: en . Ie de groep Der binne mar ien twa dimensjonele foarstellingen: en .
2) , as - odd en as - sels.
As - odd. Wy hawwe Der binne twa werjeften: en ( , ).
As - sels. Wy hawwe , der binne fjouwer sjoen ( en ).

Theorem. Elke ûnferbidlike komplekse groepsfoarstelling hat dimensje .
Bewearing.
                Lit - presintaasjeromte. Lit , besjoch - finite diminsjoneel. As dan . Dêrom - invariant subspace, d. troch irreduzibiliteit fan represintaasje dêrom finite diminsjoneel
Operator hat syn eigen fektor sa as dat . Denote sjen dat - invariant. Wy hawwe en . Dêrom - invariant en troch de irredredigens fan in representaasje dêrom .

As , , de groepfoarstellingmatrix hat it uterlik , . Want dan i.e. - dit is de woartel fan 'e mjitte fan 'e .
Werom nei de groepwerje . Lit i.e. en fjildkerkerken binne tegearre ienfâldich. Besjoch de romte mei basis dan - dit is in presintaasje. Wy ûnderskiede twa subspaces: en . Se binne invariant.

Oefening. Bewearje dat (it is hjir wichtich dat ).

Theorem. As dan - ûnferbidlik.
Bewearing.
                Lit . en it bestiet (sûnder ferlies fan generaal, wy fertsjinje dat ). As dan (om't ). Dêrom, net allegear binne elkoar elkoar (sûnder ferlies fan generaallikens, ferwyt wy dat ).
Wy hawwe , . Dan en . Ie wy kinne in fektor krije . Lykwols (substitút elke fektor ) krije alle fekkers (if dan krije vektor Litte wy it oan taheakje krije ). Dizze fektorfoarm in basis yn dêrom yn Der is gjin invariant subspace (fanwege ien fektor Wy kinne alle fekkers krije ) dêrom ûnreplikbaar

Mei De fertsjintwurdiging dy't wy krekt ûntfongen is lykwichtlik as de diederfal (twa-dimensionale fertsjintwurdiging).
Mei dizze fertsjintwurdiging is lykwichtlik as tetraedron-symmetry groep (trije diminsjoneel representaasje).
Mei Der is ien-dimensional en dimensionale fertsjintwurdiging.





Sjoch ek:

Abelianske groep yn algebra

Groep G

Homomorphisme | Monomorphisme | Epimorphisme | Isomorphisme | Automorphisme yn algebra

Definition of a cyclic subgroup

Teorem: Alle integer rechteangeleatrix is ​​ferlege ta diagonaalfoarm troch elemintêre transformationen fan rigen en kolommen.

Gean nei Tafel Ynhâld: Algebra

2019 @ bibinar.info