border=0

Homomorphisme | Monomorphisme | Epimorphisme | Isomorphisme | Automorphisme yn algebra

Definition Mapping wurdt as homomorphisme neamd . In ynjektyf homomorphisme wurdt as monomorphisme neamd . In surjektyf homomorphisme wurdt as epimorphisme neamd . In bi-aktyf homomorphisme wurdt in isomorphisme neamd . In isomorphisme fan in groep op himsels wurdt in automorphisme neamd .

Foarbylden:
                1) , . - homomorphisme.
2) , . - homomorphisme.
3) - groep fan affine transformationen -dimensionale romtekaart op - groep fan lineêre transformaasje -dimensionale romte. Lit ús in affine transformation yn korrespondinsje sette mei har differinsjaal, d. - affine transformaasje sil nei gean . Dit sil in homomorphisme wêze.
4) Lit der in groep wêze nimme item . Konjugaasje automorphisme mei elemint : . Dit automorphisme is net-trivial (net identyk) as der is sa as dat .

Definition In groep wurdt neamd as abelian ( commutative ) as .

Offer As - homomorphisme, dan en .
Hjir - in elemint fan 'e groep , - in elemint fan 'e groep . - werom nei groep elemint , - werom nei groep elemint .
Bewearing.
                1) sûnt dan . Wy hawwe
.
2) dêrom .

Offer Homomorphisme is in monomorphisme as en allinich as folget i.e. De folsleine foardielen fan 'e ienheid is lyk oan ien.
Bewearing.
As monomorphisme en . Want en ynjeksje .
Lit (folút prototype) en . Dan
. Under betingst i.e. . Dêrom - ynjeksje, i. is in monomorphisme.

Definition Lit mappen litte - groep homomorphisme. Dan is de kearn fan dizze kaart de set i.e. full prototype unit.

Neffens de foarige sin krigen wy - monomorphisme as en allinich as .

Oefening. Lit is in homomorphisme fan groepen, bewize dat is in subgroup fan .

Definition Subgroup yn in groep neamd normaal (oanjûn troch ) if i.e. as .

Offer Lit - subgroup yn , dan binne de neikommende oanfragen lykweardich:
1) ;
2) ;
3) elke rjochte neistlizzende klasse falt oerien mei de link, d. .
Bewearing.
Fansels.
Wy moatte it bewize lit dan . Dêrom dêrom . Lykas werom: dêrom en .
Wy hawwe dat . Nim in willekeurich elemint dan i.e. mar dan . Wy krigen dat . No sille wy sjen litte dat dizze manier elke elemint kin krije i.e. wat . As dan dêrom mar dan . Dêrom .

Foarbyld:
Mei help fan dizze sin is it mooglik om te bewizen is net in normale subgroup yn om't syn lofter en rjochte neistlizzende klassen dogge net oerien.

Theorem. Lit - homomorphisme, dan .
Bewearing.
Earst bewize wy dat is in subgroup fan .
As , dan om't .
As , dan om't .
No bewize wy de normale fan dizze subgroup.
dêrom en .

Foarbylden:
1) , . Dan .
2) , . Dan .
3) , . Dan .

Offer As - homomorphisme en dan .
Bewearing.
.

Definition Lit groepsfaktor - dit is in set fan neistlizzende klassen by mei operaasje .

Theorem. - de groep .
Bewearing.
Earst beprateare wy dat de funksje korrekt definiearre is. Lit en sjen dat . Wy hawwe en dan . En dêrom .
Associativiteit fan operaasje: .
Single element: .
Reverse element: .

Mapping , neamd natuerlik epimorphisme.

Theorem. Mapping - epimorphisme en .
Bewearing.
om't dan hat alle gearhingjende klasse in type, dus it is in epimorphisme. Want dan .

Theorem (op homomorphisme). Lit is in homomorphisme fan groepen, dan (isomorphysk).
Bewearing.
Konstruearje in isomorphisme : , . Dizze mappen is krekt definiearre, om't .
Lit bewize dat dit in homomorphisme is:
.
Wy beprate biiklikens, d. wat isomorphisme. Want , dizze ôfbylding is bijektyf.

Foarbyld:
Lit sjen litte hoe't it isomorphisme mei help fan dit teorem bewiisd wurde. . Wy moatte in homomorphisme beskiede sa as dat . Bygelyks . Dan, troch it homomorphisme-teorem, sille wy dat hawwe .
Lêzing 3 (09/17/2001)

Theorem. Tsjilsyske oardergroup isomorphysk foar in groep .
Bewearing.
Lit . Define in homomorphisme as folgjend: . Dit is in homomorphisme, sûnt . Dan, troch it homomorphisme-teorem, hawwe wy .

Oefening. In folslein siklike groep is isomorphysk foar in groep .

Definition Lit - groep. - arbitrary set. docht op as der in mappen is i.e. dat paar fertsjinwurdiget wat elemint . En en .

Foarbylden:
                1) docht op - -dimensionale kompleksromte, neffens de folgjende regel: let - basis, yn it is in fektor hat koördinearjen dan .
2) Lit - subgroup yn dan docht op neffens de regel .
3) Lit en . Wy hawwe de natuerlike aksje fan 'e symmetryske groep op' e set .
4) Lit en - polynomialen út ûnbekend. De aksje wurdt bepaald troch de regel .
5) docht op troch konjugaasje . Want en dan sil it echt aksje wêze.

Offer Lit docht op en dan mappen is in biedeksje op 'e set .
Bewearing.
Om dit feit te bewizen, is it genôch om in invers map te jaan. Se sille sjen litte . It echt sil it tsjinoerstelde wêze, om't en . Dêrom is it in biedeksje.

Definition Lit docht op en . Orbit - it is in protte . Stabilizer - it is in protte .

Oefening. Bewearje dat is in subgroup fan .

Definition Lit - groep . Centralizer - it is in protte . Konjugate-klasse mei - it is in protte .

Foarbylden:
1) Under de aksje op - -dimensionale romte sil allinich twa ferskillende baarten wêze: alle non-zero-fekkers (orbit fan elke non-zero-fektor), nul (nul-orbit).
2) Under de aksje fan in subgroup op groep wy hawwe en .
3) yn aksje wy hawwe konjugaasje , .

Offer As de orbits krêftich binne, fiele se.
Bewearing.
Lit . wy hawwe dêrom . wy hawwe . Lykwols hawwe wy .

Offer .
Bewearing.
Asjebleaft dat mar dan . Dêrtroch is der in biedeksje tusken de set fan orbiten en de set fan loftskosetten by . Dêrom is it oantal ferskate neistlizzende klassen, en neffens it Lagrange-teorem is it .

It ûndersyk. .

Oefening. Bewearje dat as dan .

Definition Lit docht op . Element wurdt fêste ( invariant ) neamd nei respekt foar dizze aksje, as i.e. as .

Foarbylden:
1) Under de aksje fan in symmetryske groep op polynomen, wurde symmetrike polynomen fêstlein.
2) yn aksje op himsels troch konjugaasje hawwe wy dit elemint beweging as as en allinich as . De set fan alle fêste eleminten fan in groep wurdt de sintrum fan in groep neamd. (neamd troch ).

Oefening. is in normale abelike subgroup fan .

Theorem. Lit -field, dan .
Bewearing.
Lit as it rommelos is, dan . Wy skriuwe dizze gelikensens:
.
Yn 'e loftermatrix yn plak in item wurdich en rjocht dêrom , en de oare eleminten binne nullen. Want Dit is wier foar ien , de matrix diagonaal en identike nûmers op 'e diagonaal, d. .

Oefening. Sykje groepcenters en .

Theorem. Mei .
Bewearing.
Nim - alle net-ienige subsydzje. Wy fergrieme it yn in produkt fan ûnôfhinklike sikkes:
1) Tink derom dat der twa cycles binne yn dizze ferlies, d. . Nim de subsydzje dan .
2) Tink derom dat der yn elts gefal ien syklus fan lingte 3 is yn dizze ûntbining, d. , . Nim de subsydzje dan .
3) Tink derom dat der mar ien syklus fan lingte 2 is yn dizze ûntbining, d. . Want Wy wurkje yn in groep at dan is der . Nim de subsydzje dan .
It oerbliuwende gefal - net in iennichste fyts - dit sil in ienriedige wêze. Dêrom kin allinich ien submersje fêststeld wurde.

Oefening. Bewearje dat .

Theorem. Twa substitúsjes út binne konjugat as en allinich as se deselde siklik boustrukt hawwe, d. De sets fan fyts> Bewearing.
. Lit dan . Want , dan Dêrom binne dizze rigels unôfhinklik en wy hawwe deselde fytskonstruksje.
. Lit ús bygelyks sjen as hoe't jûn wurdt troch twa substitúsjes en in subsydzje fine sa as dat . Lit en dan dêrom .

Definition Groep neamd -group as syn oardering in prime macht is .

Theorem. As - -group dan .
Bewearing.
Break up nei klassen fan konjugaasjele eleminten (dy blike net troch) . Singleton-klassen besteane út ien sintrale elemint. As - gjin singleton-klasse, - ferdield troch . Wy hawwe dat wêr trekt alle singleton klassen, en - net singleton. Dêrom dêrom .

It ûndersyk. Bestel groep ( just) abelian.
Bewearing.
As dan troch teorem of .
1) Lit dan . Dêrom cyclysk, i.e. . Lit dan en lit dan om't . Wy hawwe dat (items en permuterabel mei en mei elkoar, om't hja binne sintraal). Dêrom - Abelian en i.e. , krige in tsjinstelling mei it feit dat .
2) As dan dus de groep abelian
Lêzing 4 (09/24/2001)

Theorem (1e Sylow's teorem). Lit - bestel groep wêr - in prime nûmer, dan yn in groep der is in subgroup fan oarder .
Bewearing.
De bewiis wurdt útfierd troch yndeksje yn 'e folchoarder fan' e groep.
Basisynformaasje.
As De assertion is fanselssprekkend, wy kinne de groep sels as subgroup nimme.
Ynduktyf oergong.
1) Lit de groep Der is in net-sintraal elemint, d. . Lit - in klasse fan konjugatyske eleminten mei . Want dan neist wêr - dit is it elemint sintralisator . Wy witte dat altyd in subgroup.
1a) Lit dan en . Dan, troch de yndekshypothese (sûnt ) yn en dêrom yn , is in subgroup fan oarder .
1b) Lit i.e. . Wy brek de groep op disjointe klassen fan konjugaasde eleminten. , . Want dan .

Lemma. Lit is in finite abelike groep en - prime nûmer te dielen dan yn Der is in elemint fan bestelling .
Bewearing.
Ynduksje yn oarder .
Basisynformaasje: as De ferklearring is fanselssprekkend.
Ynduktyf oergong.
1) As de oarder fan in elemint ferdield is dan lit dan .
2) Lit de oarder fan elke elemint net ferdield wurde troch . Nim in willekeurich (net ienich) elemint . Besjoch dan - ferdield troch . Troch de yndekshypothese , t.ch. . Besjoch yn it . Lit - natuerlike homomorphisme dan . Troch it homomorphisme teorem dan . Ie dielt . Ie de oarder dield troch dat tsjinspraak fan 'e hypoteze fan paragraaf 2. It bewiis is bewiisd.

Wy komme werom nei it bewiis fan it teory. Wy hawwe dat , en - Abelianske groep. Troch lemma yn der is in elemint bestelling . Lit dan en (om't - it sintrale elemint). Dan . Troch de yndekshypothese der is in subgroup bestelling . Tink oan it natuerlike homomorphisme beskôgje de folsleine foardiel fan in subgroup : i.e. en . Troch it homomorphisme teorem en .
2) As yn gjin foarkarren eleminten dan i.e. is in abelike groep. Arguïnearje as yn 'e foarige paragraaf, it tapassen fan' e lemma, krije wy de behearsking fan 'e sesje. De teorem is bewiisd. .

Definition Lit - lêste groep en wêr - prime nûmer en . Dan is de subgroup yn bestelling neamd Sylow -subgroup .

Theorem (2nd Sylow's theorem). Lit - lêste groep - in prime nûmer, dividearjend de oarder fan in groep. Dan elts -subgroup (opbou subgroup ) is opnommen yn guon Sylow, dêrneist binne alle twa Sylow-ûndergroups konjugat.
Bewearing.
Lit - -group yn , - Sylow - subgroup. Lit . Define de aksje: docht op op 'e regel: as dan . - net ferdield troch . Orbit . wêr - in beskate funksje út . Break up op disjoënte aksjes . As alle kanten net singleton binne, dan dat is ferkeard. Dêrom is der in singleton-orbit, d. bestiet sa as dat dat is lykwichtich as de betingst mar - Sylow ûndergroup.
As - Sylow, dan om't se hawwe deselde oarder. Dêrom wurde de twa ûnderwerpen fan Sylow konjugat.

Theorem (3e Sylow's teorem). Lit - it oantal ferskate Sylow -groups yn . Dan dielt en .
Bewearing.
Lit - It set fan alle Sylow -groups yn dan . On de groep handelt troch konjugaasje, d. as en dan . By it 2e Sylow-teorem is it orbit fan in sylow -groups. Ie Mei sa'n manier is der mar ien orbit en dêrom .
Lit beskôgje de aksje yn it mate. opnij bruts yn 'e banen, en de oarder fan elk fan har dielt en dêrom is de mjitte fan it nûmer . Mar is invariant yn ferbân mei dizze aksje, d. - dit is in singleton-orbit. Tink derom dat der noch wat inkeld elemintboarts is, bygelyks, i.e. . Lit .

Lemma. In protte is in subgroup fan en .
Bewearing.
Lit en . Dan
en
i.e. - echt is in subgroup.
Lit en wêr en dan
i.e. . It lemma is bewiisd.

Wy foltôgje de bewiis fan it teory. Besjoch dizze subgroup . Dan i.e. . Lit - natuerlike homomorphisme. Dan . Mar as dan wêr en dan dêrom . Yn dit gefal dielt i.e. - nûmer fan nûmer . Dêrom - nûmer fan nûmer en . Want - Sylow, dat . Mar . Lykwols krije wy dat . Mar troch hypotinsje en oars, krige in tsjinstelling.
Dus yn mar ien ien-elemint orbit ( ), dan wurdt de oarder fan in oare baan dield troch dêrom .

Applikaasjes fan Sylow's teorems.
1) Nim in groep , sille wy Sylow fine -groups. wy witte dat i.e. en sylow -subgroup hat bestelling . Ien fan 'e Sylow-subgroups is in subgroup. de rêst binne ferbûn oan har, d. binne gelikense .
2) Untwerp in groep . . Har Sylow 2-subgroups (totaal 3): , , . Har Sylow 3-genusgroep (se is mar ien): .
3) Besykje in groep . . Sylow 2-ûndergroups fan elk kin 1 of 3 wêze. Nim . Besykje de subgruppen , , , ... Sy binne alle Sylow en der binne ferskate ûnder harren, dus binne der trije Sylow 2-subgroups. Sylow 3-subgroups (totaal 4): , , en .

Oefening. Bewearje dat as - it lytste prime nûmer te dielen en - yndeks subgroup (der is allinne ferskate oanhingklassen by ), dan .





Sjoch ek:

Groep G

De ring wurdt commutative, assosjatyf, anti-commutative neamd. Lyts ring yn algebra

Teorem: Alle integer rechteangeleatrix is ​​ferlege ta diagonaalfoarm troch elemintêre transformationen fan rigen en kolommen.

Algebra groepen

Lineêre romte

Gean nei Tafel Ynhâld: Algebra

2019 @ bibinar.info