border=0

Algebra groepen

Definition Troch groep neamd in net-lege ynstelling foar hokker twa eleminten elemint definiearre (wurk), en:
1) ;
2) ;
3) .

Foarbylden fan groepen:
1) - ûnbidige grutte matrizen mei komplekse koeffizienten - in groep mei respekt foar de matrix-multiplikaasje-operaasje;
2) - inteken - groep relatyf oan de operaasje fan tafoeging fan intekeners;
3) Diederige groep :
Tink oan in orthonormale basis op it fleantúch, wy jouwe in sirkel fan ienheidradius mei it sintrum by de oarsprong. Litte wy it skriuwe -gon, ien fan 'e hoeken dy't fan' e ein fan 'e fektor is . - dit binne alle floatmotions dy't dit oersetten -gon op himsels.
Soargje derfoar dat dit set in groep wêze sil foar de gearstalling fan de bewegingen:
1) de gearstalling fan bewegingen is assosjatyf;
2) Men kin identike beweging nimme as ien elemint;
3) as reverse-elemint, kinne jo de weromreisbeweging nimme.
Besykje dizze groep yn mear detail. Mei elk sa'n bewegingssintrum -gon bliuwt yn plak, dus it is in ortogonale transformaasje fan it fleantúch, d. of in rotaasje troch in bepaalde hoek, of symmetry yn betingst foar in bepaalde rigele line.
Want as it top is moat nei guon vertex gean, dan kin de rotaasje allinich in winkel wêze wêr . Besykje de rotaasjematrix troch de hoeke foar . As symmetry is gaadlik, bygelyks, symmetry oer it as de matrix fan sa'n transformation .

Theorem. Groep bestiet út eleminten, nammentlik en .

Bewearing.
As al neamd is, kin de turne mar yn in hoeke wêze wêr . Wy skriuwe de matrix fan sokke rotaasje: mar neat mear as . Dêrom - dit binne alle turnen yn 'e groep ynklusyf .
No litte - is dizze soarte symmetry fan 'e groep . Dan Ek hat dizze groep heart, en dit is in orthogonale matrix en syn determinant is lyk oan . Dêrom is it in turn, i. . Want dan Dêrom binne alle symmetrien fan - it is .
Wy bewiisden dat de groep befettet neat as eleminten Lit ús no bewize dat al dizze eleminten oars binne. Alle items ferskillend om't It feroaret yn ferskate hoeken. As dan dat is ûnmooglik. As dan , en wy hawwe al bewiisd dat dat ûnmooglik is.
En de lêste ferklearring fan it teory. - dit is in turn yn in hoeke i.e. identike beweging. Want dan is it symmetry yn relaasje ta wat rigele line, mar symmetry yn in plein is altyd identike beweging, dus, .

Oefening. Bewearje dat .

4) jouwe wy in foarbyld fan in oare groep - de quaterniongroep . Besykje de matrizen .

Oefening. Bewearje dat , , , . Bewearje dat matrizen foarmje in groep mei respekt foar de operaasje fan matrixmultiplikaasje.

Oefening. Bewearje dat yn elke groep ien elemint is unike definiearre foar elke elemint inverse elemint ek definieare definiearre.

Definition Groepoarder neamd it oantal eleminten yn in groep, oanwiisd .

Oefening. Besjoch in groep - ûngedienere matrizen boppe it fjild fan items. Bewearje dat syn oarder is lyk oan .

Definition Lit - groep. Net-lege subset yn it neamd in subgroup as 1) ;
2) .

Remark In inkele elemint heart altyd ta ien subgroup. Want Net-lege, dan is der op syn minst ien elemint . By eigendom 2) , troch eigendom 1) .

Oefening. Bewearje dat yn elke groep de krúspunt fan in tal subgroups ek in subgroup wêze sil.

Foarbylden fan subgroups:
1) Groep . Har ûndergroups: ; - echte matrizen mei determinant ien; ; - unitary matrizen; - ienige matrizen mei fêst ien; - orthogonale matrizen; ; ( ; - subgruppen yn in groep );
2) - groep fan substitúsjes. (sels permutaasjes) is in subgroup. Yn it bysûndere saak, as in protte sil ek in subgroup wêze;
3) - in groep fan nonzero kompleks getallen yn relaasje ta multiplication. Har ûndergroups: - unit circle; - woartels fan ien.

Definition Lit - groep elemint en - integer, dan .

Theorem. As dan en .

Oefening. Bewurkje it teory.

Definition Lit . Item oarder (neamd troch of ) wurdt de lytste natuer neamd sa as dat . As sa'n oantal net bestiet, dan is it elemint unfinigens oarder.

Oefening. Sykje de oarder fan it item .

Offer Lit . For integer De folgjende betingsten binne lykweardich:
1) ;
2) .
Bewearing.
. Lit , dan .
. Lit wêr dan . Dêrom om't oars soe it hawwe . Dêrom . .





Sjoch ek:

Algebra mei multiplikaasje wurdt Ly algebra neamd

Euklidyske romte

Abelianske groep yn algebra

Definition of a cyclic subgroup

Groep G en har normale subgruppen

Gean nei Tafel Ynhâld: Algebra

2019 @ bibinar.info