border=0

Abelianske groep yn algebra

Definition Abelian group neamd finitely generearre as sa as dat wêr .

Oefening. Bewearje dat net finitely generearre.

Definition Abelian group wurdt frij ferfongen as it hat in basis, d. sa'n elemint fan eleminten dat .

Theorem. Abelian group frije as en allinich as .
Bewearing.
. Lit basis dan as dan , . Nim de mappen neffens de regel . is in isomorphisme, dus .
. Lit . Lit de basis yn : dan .

Definition De rang fan in frije abelike groep is lyk oan it tal fekkers op basis.

Theorem. De rang fan in frije abelike groep is unyk bepaald.
Bewearing.
                Wy sille dit teorem bewiisje yn in wat ûngewoan, mar moaie manier.
                Lit wy hawwe in basis in groep beskôgje . Lit - homomorphisme. As dan . Op dizze manier unike definieare troch wearden op basiseleminten: . Dêrom sille alle ferskate homomorphisme wêze . Lit yn dêr is in basis fan eleminten, dan .

Theorem. Lit - frije abelike rankgroep en - subgroup yn . Dan - frije abelike rankgroep .
Notysje Yn in ferlykbere diminsjeheorem foar lineêre romten fan in oerienkomst fan dimensjes. De subgroup fielde mei de groep sels, mar dit is hjir net wier. Foarbyld: groep en subgroup hawwe rang .
Bewearing. (troch yndeksje)
, hawwe wy dat en de ferklearring fan 'e teory is tefreden, sûnt alle unike subgroup isomorph i.e. frije abelike rang .
Lit foar de teorie is bewiisd. Lit it it bewize . Lit - basis yn . Besjoch de set - lineêre shell fan 'e earste basis-eleminten (is in frije abelike groep mei in basis . Besykje de mappen sa as dat dan . Dan - dit is in epimorphisme en . is in subgroup fan .
As dan en (troch de yndekshypothese) - frije abelike rankgroep .
As dan . - fergese subgroup yn mei basis , (troch de yndekshypothese), dus - fergese subgroup yn . it elemint sa as dat . Lit dit sjen - basis yn , .
Lit dan , dan dêrom . Ie en . Wy hawwe it bestean fan in represintaasje bewiisd, it bliuwt om de ienichheid te bepraten, dêrtroch is it genôch om dit te bewizen It folget dat alles . Wy hawwe en fan ús gelikensens bliuwt . Dêrom, sûnt - basis yn en alle oare faktoaren binne nul.





Sjoch ek:

Algebra mei multiplikaasje wurdt Ly algebra neamd

Non-abelyske groep

Definition of a cyclic subgroup

Algebra groepen

Weil algebra

Gean nei Tafel Ynhâld: Algebra

2019 @ bibinar.info