border=0

Transferfunksje

It ultimaat fan ATS-analyse is te lêzen (as it mooglik is) of de differinsjale lykweardigens fan it systeem as in gehiel te studearjen. Meastentiids binne de ekwikselingen fan yndividuele keppels dy't diel útmeitsje fan 'e SAR binne bekend, en in tuskenyn probleem ûntstiet om de differinsjale lykweardigens fan in systeem te krijen fan de bekende fernijing fan har links. Yn 'e klassike foarm fan' e representaasje fan DM is dizze taak ferbûn mei grutte problemen. It brûken fan it begryp fan transfer transfer funisearret it sterk.

Lit wat systeem beskreaun wurde troch in kontrôle fan 'e foarm.

It ynskriuwen fan 'e notaasje = p, dêr't p as operator of symboal neamd wurdt, fan differinsjaasje, en no nei it symboal as gewoane algebraike nûmer, nei it útjaan fan x út en x yn klaaiers, krije wy de differinsjale lykweardigens fan dit systeem yn operatoroperaasje:

(a n p n + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) x út = (b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) x yn . (3.38)

It polynom fan p, stean by de útfierde wearde,

D (p) = a n p n + a n -1 p n -1 + ... + a 1 p + a 0 (3.39)

wurdt syn eigen operator neamd, en it ynput polynom wurdt de operateur neamd

K (p) = b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 . (3.40)

De transferfunksje is it ferhâlding fan de eksposysje-operateur nei in eigen operator:

W (p) = K (p) / D (p) = x út / x yn . (3.41)

Yn 'e takomst sille wy de operateurfoarm brûke om ferskate yntegraasje-yntegraasjes sawat oeral te skriuwen.

Types fan linkferbinings en transferfunksje algebra.

It ûntfangen fan de transferfunksje fan 'e SAR fereasket kennis fan de regels om de transferfunksjes fan groep fan keppelings te finen wêrby't de keppels op in bepaalde manier ferbine binne. Der binne trije soarten ferbiningen.

1. Konsistint, wêryn de útfier fan 'e foarige keppeling in ynput foar de folgjende is (figur 3.12):

W 1 (p)
W 2 (p)
x yn
x
x út


Fig.3.12. Sequential link ferbining.

As jo ​​fan 'e lykweardigens (3.41) sjoen wurde, is de transferfunksje fan elk system, op' t iene hân, it ferhâlding fan 'e ynfloedbedriuw nei eigen operator, en op it oare hân is it ferhâlding fan outputwearde nei ynput. Yn dit gefal is de transferfunksje fan 'e ferbining

W c (p) = x út / x yn = (x út / x) (x / x yn ) = W 1 (p) W 2 (p). (3.42)

2. Parallel, dêr't meardere keppels in mienskiplike yngong hawwe en de útfieringswearden fan dizze keppelings binne tafoege (ôfbylding 3.13):

W 1 (p)
W 2 (p)
x yn
x o = x 1 + x 2
x 1
x 2


Fig.3.13. Parallel link links.

It nije byldkaike op dizze circuit is de adder. As in adder oanstiet mei in skerpe sektor, betsjut dit dat de wearde dy't yn dizze sektor yntreekt feroaret syn teken.

As earder, basearre op it begrip fan transferfunksje, krije wy:

W mei (p) = x út / x yn = x 1 / x + x 2 / x = W 1 (p) + W 2 (p). (3.43)

3. Counter - parallelle ferbining, of keppeling dekking troch feedback (ôfbylding 3.14).

W 1 (p)
W 2 (p)
x
x yn
x yn ± x
x út


Fig. 3.14. Counter - parallelle ferbining.

Ofhinklik fan oft it feedbackssignal x tafoege wurdt oan it ynputssignal x-ynfier of wurdt subtraktearre, binne positive en negative feedback.

As earder, basearre op it eigendom fan 'e transferfunksje, kinne wy ​​skriuwe

W 1 (p) = x út / (x yn ± x); W 2 (p) = x / x o ; W c = x út / x yn . (3.44)

It eliminearjen fan it ynterne x koördinear fan 'e earste twa lykwearjes, krije wy de transferfunksje foar sa'n ferbining:

W c (p) = W 1 (p) / [1 ± W 1 (p) W 2 (p)]. (3.45)

It moat rekken hâlden wurde dat yn it lêste ekspresje it plus-teken entspricht as negative feedback.

Yn it gefal dat in link hat ferskate yngongen (bygelyks in objekt fan regeling), wurde ferskate transferfunksjes fan dizze keppeling as elk fan 'e ynputs beskôge, bygelyks as de keppeling lykwicht it formulier hat

D (p) y = K x (p) x + K z (p) z (3,46)

K x (p) en K z (p) binne respektivelik op inputs x en z, dan hat dizze keppeling transferfunksjes op inputs x en z:

W x (p) = K x (p) / D (p); W z (p) = K z (p) / D (p). (3.47)

Yn 'e takomst sil wy it argumint "p" om de sketsen yn' e útdrukkingen fan 'e oerdrachtfunksjes en de oanbe>

Fan 'e mienskiplike oertsjûging fan útdrukkings (3.46) en (3.47) folget dat

y = W x x + W z z, (3.48)

Dat is yn it algemiene gefal de útfierde wearde fan elke link mei ferskate ynfieren is lyk oan de sum fan 'e produkten fan' e ynput-wearden en transferfunksjes oer de oerienkommende ynputs.

ATS-transferfunksje foar perturbaasje.

De gebrûklike type fan struktuer ATS, wurket op 'e ôfwaging fan' e regele wearde, is:

W o z = K z / D-objekt W o x = K x / D
W p y
z
y
-x


Fig.3.15. Closed ATS.

Wy tekenje omtinken foar it feit dat de regeljende effekt op it objekt komt mei in feroare teken. De relaasje tusken de útfier fan in objekt en syn ynput troch in regulator wurdt de haadkommintaal neamd (yn tsjinst fan eventueel ekstra oanfraach yn 'e kontrôler sels). Yn it meast filosofyske sin fan regeling is de aksje fan 'e regulator rjochte op it ferminderjen fan' e ôfwaging fan 'e regele kwaliteit, en dus is it haadkommintaar altyd negatyf. In fig. 3.15:

W o z - transferfunksje fan 'e objekt ferneatiging;

W o x - de transferfunksje fan it objekt foar reglemintêre aksje;

W p y - de transferfunksje fan de regulator op it ôfwikseljen fan y.

De differinsjaal-lykwichtigens fan it objekt en de kontroleur sjogge dit:


y = W o x x + W o z z

x = - W p y. (3.49)

It fertsjinjen fan x fan 'e twadde lykweardichheid yn' e earste en it kompleksjen fan 'e groepsjen, krije wy de gelikensens fan' e CAP:

(1 + W o x W p y ) y = W o z z. (3.50)

Dêrtroch is de transferfunksje fan 'e SAR op' e ferwûning

W c z = y / z = W o z / (1 + W o x W p y ). (3.51)

Op deselde manier is it mooglik om de transferfunksje fan it kontrôlesysteem te krijen foar de kontrôleakty:

W c u = W o x W p u / (1 + W o x W p y ), (3.52)

dêr't W p u de transferfunksje fan 'e kontrôler foar de kontroleaks is.

3.4 Ferplichte oscillaasjes en frekmerken fan 'e SAR.

Under wurksumheden fan 'e wurklikheid wurdt de SAR faak ûnderstreke oan de aksje fan periodyk bedrige krêften, dy't begelaat wurdt troch periodike feroaringen yn kontrolearre fariabelen en regeljende ynfloeden. Sa binne bygelyks de oscillaasjes fan 'e skippen by in kursus op' e see, fluktuaasjes yn 'e frekwinsje fan rotaasje fan' e propeller en oare mjittingen. Yn guon gefallen kin de amplituden fan oscillaasjes fan 'e útfieringswearden fan it systeem net akseptabel grutte wearden komme, en dat komt oerien mei it fenomenon fan resonânsje. De konsekwinsjes fan resonânsje binne faak fatsoenlik foar it systeem dy't it testet, bygelyks it omheechjen fan in skip, de ferneatiging fan in moter. Yn kontrôlesystemen binne soksoarte fenomenen mooglik mei feroaringen yn 'e eigenskippen fan eleminten dy't feroarsake binne troch wearze, ferfanging, rekonfiguraasje, mislearrings. Dêrnei is der needsaak om feilige rigen fan betingsten omskriuwde, of in goede konfiguraasje fan 'e SAR. Hjirnei wurde dizze fragen beskôge yn 'e anneks nei lineêre systemen.

Lit wat systeem de struktuer hjirûnder hawwe:

x = A x sinôt
y = A y sin (ωt + φ)


Fig.3.16. ATS yn 'e modus fan ferwûne swiere.

As it systeem beynfloede wurdt troch in periodike aksje x mei in amplituden A x en in sirkulêre frekwinsje w, dan wurdt nei it ein fan it transiente proses oscillaasjes fan deselde frekwinsje mei amplituden A y ferpleatst nei de ynfier-oscillaasjes troch de fazewinkel j. De parameter fan de útfieringsoszillaasjes (amplituden en fazeverschwingen) binne ôfhinklik fan de frekwinsje fan 'e treendkrêft. De opdracht is om de parameter fan de útfieringsoszillaasjes te bepalen troch de bekende parameter fan de oscillaasjes by de ynfier.

Yn oerienstimming mei de transferfunksje fan 'e SAR, dy't yn ôfbylding 3.14 sjen litten hat, hat syn differinsjaalsjegong de foarm

(p n + 1 p + a 0 ) y = (b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) x. (3.53)

Wy feroarje yn (3.53) de útdrukkings foar x en y yn fy. 3.14:

(a n pn + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) A y sin (wt + j) =

= (b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) A x sinwt. (3.54)

As wy beskôgje dat it oscillaasjemuster nei in fjirde fan 'e perioade ferfongen is, dan wurdt yn syn lykwicht (3.54) de sinusfunksjes ferfongen troch kosinefunksjes:

(a n pn + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) A y cos (wt + j) =

= (b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) A x coswt. (3.55)

Multiplikens lykas (3.54) troch i = en add it oan (3.55):

(in n p n + a n -1 p n -1 + ... + a 1 p + a 0 ) A y [cos (wt + j) + isin (wt + j)] =

= (b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) A x (coswt + isinwt). (3.56)

It tapassen fan de Euler-formule

exp (± ibt) = cosbt ± isinbt,

Wy bringe ekgleichingen (3.56) nei it formulier

(a n pn + a n-1 p n-1 + ... + a 1 p + a 0 ) A y exp [i (wt + j)] =

= (b m p m + b m-1 p m-1 + ... + b 1 p + b 0 ) A x eks (iwt). (3.57)

It funksjonearjen fan differinsjaasje yn 'e tiid, foarsafele troch de operator p = d / dt:

[i (wt + j)] = a 1 iw + a 0 ] a y exp [i (wt + j)] =

= [b m ( iw) m + b m-1 ( iw) m-1 + ... + b 1 iw + b 0 ] A x eks (iwt). (3.58)

Nei ienfâldige transformaasje dy't ferbân hâlde mei de ôfkoarting troch exp (iwt), krije wy

(3.59)

De rjochterkant fan 'e ekspresje (3.59) is te fergelykjen mei de útdrukking fan de CAP-transferfunksje en kin dêrfan ferfangen wurde troch it ferfangen fan p = iw. Troch analogy wurdt it de komplekse transferfunksje W (iw), of amplitude-phase-karakteristyk (AFC) neamd. Faak brûke de termfrekwinsje antwurd. It is dúdlik dat dizze fraksje in funksje fan in komplekse argumint is en kin ek fertsjintwurdige wurde yn dizze foarm:

W (iw) = M (w) + iN (w), (3.60)

wêrby't M (w) en N (w) respektivelik de echte en imaginäre frekwetlike karakteristiken binne.

De ferhâlding A y / A x is it AFC-modul en is in funksje fan frekwinsje:

En y / A x = R (w)

en wurdt nammentlik amplitude response (AFC) neamd. Phase

De skift j = j (w) is ek in funksje fan frekwinsje en wurdt de phasearfrekwinsje (phase response) neamd. Troch it berekkenjen fan R (w) en j (w) foar it frekwikselfjild (0 ... ¥) kinne jo de AFC-grafyk op it komplekse fleantúch plotje yn 'e koördinaten M (w) en iN (w) (ôfbylding 3.17).

iN (w)
R (w)
j (w)
M (ω)

Fig.3.17. Schedule AFH.

De neifolgjende relaasjes binne fanselssprekkend:

M = Rcosj; N = Rsinj;

; j = arctg (N / M). (3.61)

Amplitudenfrekste antwurd.

It frekwinsjende antwurd fan elke systeem is fan 'e grutste be>

ω
R (ω)
ω cp
ω te meitsjen


Fig.3.18. Amplituden-frekmerte-skaaimerken.

By it frekwinsjende reaksje fan systeem 1 is in resonant-peak sichtber, oerienkommend mei de heechste amplitude fan twongen oscillaasjes. Wurkjen yn 'e sône tichtby de resonante frekwinsje kin slimme en faaks allinich net akseptabel wurde troch de regels fan' e operaasje fan in bepaald kontrôleobjekt. It frekwinsertaksje fan type 2 hat gjin resonante peak en is mear foardieliger foar meganyske systemen. It is ek sjoen dat mei ferhegefrekwinsje de amplitude fan de útfieringsoszlaasjes fermindere. Fysiklik is dit ienfâldich te ferklearjen: elke systeem, fanwege har ynertiale eigenskippen, is makliker ûnderwerp mei fingers mei leechfrekwinsjes as mei hege frekwinsjes. Fanút in bepaalde frekwinsje wurde de útfieringswilligingen net-weardich, en dizze frekwinsje wurdt de snelfrekwinsje neamd, en it frekwyktromte ûnder de snelfrekwinsje wurdt it frekwetbreedband neamd. Yn 'e teory fan automatyske kontrôle wurdt de snelfrekwinsje sa makke, sadat de frekwinsjeaksje 10 kear minder is as op nulfrekwinsje. It eigendom fan it systeem om hegefreeslike oscillaasjes te ûndergjen wurdt it eigendom fan 'e lege passfilter neamd.

Ferjit de metoade om it frekwinsjende reaksje op it foarbyld te bringen fan in link fan 'e twadde oarder, de differinsjaal ekigaasje dy't

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1) y = kx. (3.62)

By swierrichheden fan twangene oscillaasjes wurdt faak in fisuele foarm fan 'e lykboraasje brûkt.

(p 2 + 2xw 0 p + w 0 2 ) y = kw 0 2 x, (3.63)

wêr't de natuerfrekwinsje fan oscillaasjes neamd wurdt as it ûntbrekken fan 'e attenuaasje is, x = T 1 w 0/2 is de ôfwagingkoeffizient.

De transferfunksje sjocht dit sa:

(3.64)

Ferfange p = iw, krije wy de amplitude-faze-karakteristyk

(3.65)

Mei it regel fan de divyzje fan komplekse nûmers krije wy de útdrukking foar it frekwinsjende antwurd:

(3.66)

Besparje de resonantefrekwinsje wêryn't it frekwinsetter in maksimum is. Dit komt oerien mei de minimale neiteam fan 'e ekspresje (3.66). It nimmen fan 'e ôfdieling fan' e nammen yn 'e hichte fan' e frekwinsje: wy hawwe:

2 (w 0 2 - w 2 ) (- 2w) + 4x 2 w 0 2 * 2w = 0, (3,67)

wêr't wy de wearde fan 'e resonantfrekwinsje krije, dy't net nul is oan nul:

w rez = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Lit dizze útdrukking analysearje, wêrby't wy yndividuele gefallen beskôgje, dy't oerienkomme mei ferskillende wearden fan 'e ôfwaaks koeffizient.

1. x = 0. De resonantfrekwinsje is lyk oan syn eigenfrekwinsje, en it frekwinside modul giet dan nei ynfinityf. Dit is in gefal fan saneamde matematyske resonânsje.

2 .. Om't de frekwinsje as in positive nûmer útdrukt wurdt, en fanôf (68) foar dit gefal of elk nul of imaginêre nûmer wurdt folge dat der mei sokke wearden fan 'e ôfwaaks koeffizient it frekwinsjende reaksje gjin resonante peak hat (koar 2 yn 3.18).

3 .. It frekwinsjende antwurd hat in resonânsje-peak, en mei in ôfwiking fan 'e ôfwaaks koeffizient, komt de resoninsjefrekwinsje eigen en de resonante peak wurdt heger en skerper.





Sjoch ek:

Equaasjes yn finite ferskillen.

NONLINEAR AUTOMATIC SYSTEMS

ELEMENTS OF THE THEORY OF DISCRETE AUTOMATIC SYSTEMS

Oer de stabiliteit fan netlineare systemen.

Bestimming fan parameters fan sels-oscillaasjes.

Return to Table of Contents: AUTOMATIC REGULATION THEORY

2019 @ bibinar.info