border=0

Lineêre matrixalgebra. Solution

Basic definitions.

Definition In matrix fan grutte mkn, wêrby't m it tal reihen is, is it tal kolommen, wurdt in tabel fan getallen neamd yn in bepaalde folchoarder. Dizze getallen binne de eleminten fan 'e matrix neamd. De lokaasje fan elke elemint is unyk bepaald troch it tal fan de rige en kolom by it krúspunt fan wêr't it leit. Matrix-eleminten wurde oanjûn troch in ij , wêr't ik it rige num is, en j is it kolonnumer.

A =

Basis operaasjes op matrizen.

In matrix kin bestean út sawol ien rige en in single-kolom. Meastentiids kin in matrix sels bestiet út ien elemint.

Definition As it oantal kolommen fan 'e matrix is ​​lyk oan it tal reihen (m = n), dan wurdt de matrix as plein neamd.

Definition View Matrix:

= E ,

wurdt de ienheidmatrix neamd .

Definition As in mn = a nm , dan wurdt de matrix symmetrysk neamd .

In foarbyld . - symmetryske matrix


Definition Keppelingsmatrix-sicht de diagonale matrix neamd.

Oanfolling en subtrakking fan matrizen wurdt ferlege oan 'e oanbe>allinich foar matrizen fan deselde grutte definieare . Sa kin it bestjoeren fan de operaasjes fan tafoeging en subtraktyk fan matrizen:
Definition De som (ferskil) fan matrizen is de matrix, wêrfan eleminten respektivelik de sum (ferskil) fan eleminten fan 'e orizjinele matrizen binne.

c ij = a ij ± b ij

C = A + B = B + A

De operaasje fan multiplikaasje (dielen) in matrix fan elke grutte troch in willekeurenn getal is ferlege om it elemint fan elemint fan 'e matrix te ferpleatsen (te dielen) troch dat getal.

a (A + B) = aA ± aB
A (a ± b) = aA ± bA

In foarbyld. Mei de matrix A = ; B = , fine 2A + V.
2A = , 2A + B = .

De operaasje fan multiplication fan matrizen.

Definysje: In matrixprodukt is in matrix wêrfan eleminten berekkene wurde kinne troch de folgjende formulas:

A * B = C;
.
Ut boppesteande definysje kin sjoen wurde dat de operaasje fan multiplikende matrizen allinich foar matrizen definiearre is, it oantal kolommen fan 'e earste fan datselde is lyk oan it oantal rigen fan' e twadde.

Eigenskippen fan 'e operaasje fan matrixmultiplikaasje.

1) Matrix-multiplikaasje is net kommutatyf , d. AB is net lyk oan VA, ek as beide wurken fêstlein binne. Wannear't foar alle matrissen de relaasje AB = BA tefreden is, dan wurde sokke matrizen as permutearmatys neamd .
It meast karakteristike foarbyld is de identiteitmatrix, dy't permutier is mei alle oare matrix fan deselde grutte.
Permutation kin allinich fjouwer matrizen wêze fan deselde oarder.

A * E = E * A = A

Fansels is foar alle matrizen it neikommende eigendom:
A * O = O; O * A = O,
dêr't O de nulmatrix is.

2) De matrix-multiplikaasje-operaasje is assosjatyf, d. As de produkten AB en (AB) S binne definiearre, dan binne BC en A (BC) definiearre, en de gelikensens is folbrocht:
(AB) C = A (BC).

3) De matrix-multiplikaasje-operaasje is ferspraat yn relaasje ta tafoeging, d. as de útdrukkingen A (B + C) en (A + B) C binne, dan respektivelijk:

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC.

4) As it AB is definiearre, dan is foar elke nûmer in relaasje:
a (AB) = (aA) B = A (aB).

5) As it produkt AB fêstlein is, dan wurdt it produkt B T A T definiearre en de gelikensens behannelet:
(AB) T = B T A T , wêr
de yndeks T neamt de transponearre matrix.

6) Tink derom dat foar alle fjouwerkante matrizen, det (AB) = detA * detB.
It begryp fan det (fêstlein, fêststeld) sil hjirûnder besprutsen wurde.

Definition De matrix B wurdt de transponearre matrix A neamd, en de oergong fan A oant B troch transposysje , as de eleminten fan elke rige fan 'e matrix A binne yn deselde oarder skreaun yn' e kolommen fan 'e matrix B.
A = ; B = A T = ;

yn oare wurden, b ji = a ij .

As gefolch fan it foarige eigendom (5) kinne wy ​​dat skriuwe:
(ABC) T = C T B T T T ,
foarsafele dat it produkt fan 'e ABC-matrizen definiearre is.

In foarbyld. Mei de matrix A = , B = , C = en nûmer a = 2. Sykje A Т В + aС.


A t = ; A T B = * = = ;
aC = ; А Т В + aС = + = .

In foarbyld. Sykje it produkt fan matrizen A = en B = .
AB = * = .
VA = * = 2 * 1 + 4 * 4 + 1 * 3 = 2 + 16 + 3 = 21.
In foarbyld. Sykje it produkt fan matrizen A = , B =
AB = * = = .





Sjoch ek:

Category Theory

Universele algebra

Primêre matrixfoarsjenningen

Hegere algebra wiskunde

Computational geometry

Gean werom nei Tafelingen yn: Heger Matematika

2019 @ bibinar.info