border=0

Category Theory

Kategoryteory is in branch fan wiskunde dy't ûnderskiedt fan eigenskippen tusken mathemale struktueren, ûnôfhinklik fan 'e ynterne struktuer fan struktueren; Abstracts fan sets en funksjes nei diagrams, dêr't objekten ferbûn binne troch morphisme (troch pylken).

Keatstheorie besiket in sintraal plak yn moderne wiskunde, it hat ek applikaasje fûn yn kompjûterwittenskippen en yn teoryske natuerkunde. Moderne lear fan algebrayske geometry en homologysk algebra is basearre op kategoryteory. De begripen fan kategorydeoryke ​​wurde brûkt yn 'e funksjonele programmiers taal Haskell.

Skiednis

De konsept-kategory waard yntrodearre yn 1945. De kategorydeory is ferplicht troch syn oarsprong en primêre stimulâns fan ûntwikkeling nei algebraike topology. Fierder ûndersyk die bliken dat de unifoarmjende en unifoarmjende rol fan 'e begrypskategory en it oanbe>

De teoryske kategory-analyze fan 'e fûneminten fan' e homologyske teory liedt ta it ûntstean yn 'e midden fan' e jierren 50 fan 'e 20e ieu. de saneamde Abelianske kategoryen, wêrby't it mooglik wie om de basisûntwerp fan homologyske algebra út te fieren. Yn de jierren 60 fan 'e 20e ieu. In groeiende ynteresse yn net-Abelianus kategoryen, feroarsake troch problemen fan logika, algemiene algebra, topology en algebrayske geometry, waard fêststeld. De yntensive ûntwikkeling fan universele algebra en de axiatyske opbou fan 'e teory fan homotopies hat in ferskaat oan ûndersyksrjochtingen útfierd: kategoaryske ûndersyk nei soarten fan universele algebra, de teory fan isomorphisme fan direkte dekombiningen, de teory fan relatearre funksjes en de teory fan dualiteit fan funksjes. De fierdere ûntwikkeling fûn in wichtige relaasje tusken dizze stúdzjes. Troch it ûntstean fan 'e teorie fan relatearre kategoryen brûkt it breedte fan' e technyk fan relatearre funksjes en sletten kategoryen, duality tusken de teory fan homotopyen en de teory fan universele algebras is basearre op basis fan 'e ynterpretaasje fan' e kategoriale definysjes fan in monoid en comonoid yn 'e oanbe>

Definition

Category

Category bestiet út in klasse dêr't eleminten as objekten fan in kategory neamd wurde, en in klasse wêrfan elemint in morphisme fan in kategory neamd. Dizze klassen moatte de folgjende betingsten befetsje:

  1. Elke bestelde pear objekten A , B wurdt in klasse oanbean ; As, dan wurdt A it begjin, of domein fan definysje neamd, nei de morphisme f , en B , it ein, of domein fan wearden fan f .
  2. Elke kategory morphisme heart ta ien en ienige klasse.
  3. Yn 'e klasse In partielmultiplikaasjewet is jûn: it produktmorphisme en . binne definiearre as en allinich as B = C , en heart ta de klasse Hom ( A , D ) . It produkt fan f en g beynfloedet.
  4. Fair Associativity law: foar elke morphisme dêr't dizze wurken fêstlein binne.
  5. определен такой морфизм и DA , что Yn elke klasse Hom ( A , A ) is der in morphisme en DA definieare sa foar ; называются единичными, тождественными, или единицами. morphisme en DA wurde yndividuele, identike of ienheden neamd.
Opmerking: in klasse fan objekten is normaal net in set yn 'e betsjutting fan in axiomatyske sette teory. De kategory wêryn't objekten in set sette wurde lyts neamd. Dêrnjonken is it yn prinsipe mooglik (mei in lege korreksje om te definiearjen) om kategoryen te beskôgjen dêr't de morphisme tusken alle twa objekten ek in klasse of sels in gruttere struktuer foarmje.

Kategory foarbylden

  • Set - de kategory fan sets. Objekten binne fêst, morphisme is in kaart fan sets, en ferdieling ferdielt mei de opfolgjende útfier fan mappen.
  • Top is in kategory topologyske romten. Objekten binne topologyske romten, it morphisme is allegear kontinulearre mappen fan topologyske romten, en fermindering komt wer oerien mei de opfolgjende útfiering fan mappen.
  • Groep - groep kategory. De objekten binne groepen, it morphisme is it folsleine homomorphisme fan groepen, en de ferdieling fynt mei de opfolgjende útfiering fan 'e homomorphisme. Troch analogy kinne jo de kategory fan ringen ynfiere, ensfh.
  • Vect K is de kategory fan fektorplakken oer it fjild K. Morphisme - lineêre mappen fan fektoromten.
  • Rel is de kategory fan binêre relaasjes fan in set; De klasse fan objekten fan dizze kategory fynt oerien mei de klasse fan objekten Set , en it morphisme fan 'e set A yn de set B is de binêre relaasjes fan dizze sets, dat is alle mooglike submappen fan it Cartesian product A x B ; Multiplikaasje fynt gear mei de ferdieling fan binêre relaasjes.
  • In monoid is in kategory mei ien objekt: yn 'e oar, elke kategory besteande út ien objekt is in monoid.
  • Foar elke diels besteld kinne jo in lytse kategory konstruearje wêrmei't de objekten de eleminten binne fan 'e set, en der is in ienoarm morphisme tusken de eleminten x en y as x <= y (fansels moatte dizze kategory ûnderskiede fan' e kategory fan dielde bestelde sets).

Alle boppesteande kategoryen befetsje in isomorphyske ynbining yn 'e kategory fan sets. Kategoryen mei dit eigendom wurde spesifyk neamd. Net alle kategory is konkreet, bygelyks in kategory wêrfan objekten alle topologyske romten binne en in morphisme is in klasse fan homotopyske mappen.

Kommutative diagrams

De standaard wize om te beskriuwen fan kategory teory assertjes is kommutative diagrams. In kommutative diagram is in streekrjochte grafyk, op 'e hoekeken wêrfan objekten binne, en de pylken binne morphisme of funksjonearen, en it resultaat fan' e komposysje fan pylken hinget net fan 'e keazen poarte. Bygelyks kinne de aksyomen fan kategorydeoryke ​​wurde skreaun fia diagrams:

Kategory mei objekten X, Y, Z en morphisme f , g .

Duality

Foar kategory Jo kinne in dûbel-kategory definiearje yn hokker:

  • de objekten ferminderje mei de objekten fan 'e earste kategory;
  • morphisme krigen troch "rotearjende pylken":

Yn it algemien kinne wy ​​in dûbelsinnichheid foarmje mei de ynvers fan pylken. Oft is in dûbele fenomenon mei deselde termyn mei de prefix ko- (sjoch foarbylden hjirûnder) oanjûn.

It dualityprinsipe hâldt wier: de ferklearring r is wier yn kategoryteory, as en allinich as de dual deklaraasje r * is yn dizze teory. In protte konsepten en resultaten yn 'e wiskunde wiene úteinlik dualen yn' e hichte fan 'e begripen fan' e kategoryteory: ynjittigens en snojektiviteit, farianten en radikalen yn algebra, ensfh.

Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme

Morphisme wurdt in isomorphisme neamd as der sa'n soart morfisme bestiet en Twa objekten tusken wêr't in isomorphisme wurdt isomorphysk neamd. Benammen it identiteitsmorfisme is in isomorphisme, dus is alle objekten isomorphysk foar himsels.

De morphisme wêryn it begjin en it einpunt fermindere wurdt neamd in endomorphisme . In protte endomorphisme is in monoid yn ferbân mei de operaasje fan 'e komposysje mei ien inkeld elemint.

Endomorphisme dy't simultanean in isomorphisme binne autorphisme . Automorphisme fan elke objekt foarmje in automorphisme groep troch komposysje.

Monomorphisme, epimorphisme, bimorphisme

Monomorphisme is in morphisme sa foar dat fan 'e folget dat. In kompensaasje monomorphisme is in monomorphisme.

Epimorphisme is sa'n morphisme dat foar elk fan 'e folgje ien.

Bimorphisme is in morphisme dat as in monomorphisme en in epimorphisme is. In isomorphisme is in bimorphisme, mar gjin bimorphisme is in isomorphisme.

Monomorphisme, epimorphisme en bimorphisme binne respektivelingen. In isomorphisme is monomorphisme en epimorphisme, it tsjinoerstelde, oer it generaal is net wier foar alle kategoryen.

Ynitialen en terminalynstellings

It earste (algemien repetitive) objekt fan in kategory is it objekt dêr't út hat in unyk morphisme yn elk oare objekt.

As earste objekten yn 'e kategory besteane, dan binne se alle isomorph.

Dûzich, in terminal objekt is definiearre - it is sa'n objekt dat der in unyk morphisme fan in oare objekt is.

Foarbyld: yn 'e kategory Set , it earste objekt is it lege set. , terminal - in set fan ien elemint.
Foarbyld: Yn 'e groep kategory, it earste en terminal objekt binne deselde - dit is in groep fan ien elemint.

It produkt en de som fan objekten

It produkt fan objekten A en B is in objekt mei morphisme en с морфизм sa dat foar elke objekt C mei morphisme en Der is in unyk morphisme sa as dat. Morphisme en neamd projektjes .

объектов A и B . De direkte sum of codebûker A + B fan objekten A en B wurdt bepaald. Meitsje morphisme en wurde attachments neamd. Nettsjinsteande harren namme, yn 't algemien kinne se net in monomorphisme wêze .

As it produkt en codebox bestiet, dan binne se unyk te bepalen oant isomorphisme.





Sjoch ek:

Booleaanske funksje

Harmonische analyze

Automatyske teory

Hegere algebra wiskunde

Elements of vector algebra

Gean werom nei Tafelingen yn: Heger Matematika

2019 @ bibinar.info