border=0

Groep G

Definition Lit - groep. Set . Groep neamd as lûdber as .

Foarbylden:
                1) Abelyske groepen binne ûnlêsber, dat is, .
2) om't dêrom - abelian groep. Dêrom en solvabele.
3) Mei wy witte dat . Dêrom foar ien en groep ûnbetrouber.

Offer Lit - groep homomorphisme. Dan en as - surjective, dan .
Bewearing. (troch yndeksje op )
Basisynformaasje. Beide ferkizen binne wier.
1) Lit foar ferklearring is wier, bewize wy it foar . . As dan wêr dan om't troch yndeksje .
2) Lykwols, lit foar ferklearring is wier, bewize wy it foar . Wy moatte bewiisd wurde foar elke elemint der is sa as dat . Wy hawwe dat wêr troch de yndekshypothese wêr . Mar dan dêrom .

Offer .
Bewearing. (troch yndeksje op )
Basisynformaasje. de ferklearring is wier.
Lit de ferklearring wier wêze lit it it bewize . Nim wolwillich dan wêr . Lit dan om't troch yndeksje . Dêrom .

Oefening. Lit - subgroup yn . As - solvabel dan ek solvabel.

Offer As , binne de neikommende twa ferklearrings lykweardich:
1) solvable;
2) en solvabele.
Bewearing.
.
Troch de eardere oefening sil solvabel wêze. Tink oan it natuerlike homomorphisme , . Dit homomorphisme is altyd surrejektyf, dus Wy hawwe dat . Want - solvabel dan sa as dat dêrom dêrom solvabele.
.
Lit en . Dan dêrom . Dêrom i.e. solvabele.

Theorem. Lit - groep. De neikommende ferklearrings binne lykweardich:
1) - solvable;
2) Der binne in oantal normale subgruppen sa as dat - Abelian.
Bewearing.
.
Set dan en - Abelian, sûnt de quotient-groep troch kommutant is altyd abelian.
(troch yndeksje op ).
Basisynformaasje . Dan en - Abelian, dus, lûdber.
Lit de ferklearring wier wêze lit it it bewize . Yn groep Der binne in oantal lingte Dêrom troch de yndekshypothese solvabele. Boppedat, en - Abelian (solvabele), dus - solvabele.

Theorem. De ultime -group is solvabele.
Bewearing. (yndeksje yn 'e folchoarder fan' e groep).
Basisynformaasje dêrom - is Abeljaansk en ûnlêsber.
Lit de ferklearring wier wêze lit it it bewize . Besjoch it sintrum wy witte dat , - Abelian (solvabele) en i.e. (lêzjend troch de yndekshypothese), dêrom solvabele.

Besjoch de set - set fan boppegrouwe triangulêre grutte matrizen mei nonzero fjildnûmers op 'e diagonaal. Besykje in protte mear - subset yn mei ienheden op 'e diagonaal.

Oefening. Bewearje dat - Matrix-multiplikatorgroep, en subgroup yn it.

Offer en .
Bewearing.
                Besykje de mappen mappen yn - in soad sets fan nonzero fjildnûmers . Dizze mapping folget de regel. . Wy prate de multiplikaasje operaasje yn 'e set : . No is in abelike groep en is in homomorphisme fan groepen, en dêrom . Dêrom is in abelike groep isomorph i.e. - Abelian. Tink oan it natuerlike homomorphisme dan . Dêrom .

Theorem. Groep altyd lestich.
Bewearing.
                Om de teorem te bepraten is it genôch om de lestigens fan 'e groep te bewizen en foardielje fan 'e eardere sin. Wy bewiisd dat troch yndeksje op .
Basisynformaasje . - solvabele.
Lit de ferklearring wier wêze lit it it bewize . Besykje de mappen bepaald troch de folgjende regel: let dan . As dan .

Lemma. - groep homomorphisme.
Bewearing.
.

Besjoch om't dan - Abelianske groep (ûntslutend). Njonken - troch de yndekshypothese is lêsber. Dêrom solvabel en solvabele.





Sjoch ek:

Weil algebra

Groep G en har normale subgruppen

Teorem: Alle integer rechteangeleatrix is ​​ferlege ta diagonaalfoarm troch elemintêre transformationen fan rigen en kolommen.

Algebra groepen

Diskrete subgruppen yn algebra

Gean nei Tafel Ynhâld: Algebra

2019 @ bibinar.info